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等差数列求和公式 推导

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等差数列求和公式 推导

等差数列是数学中非常重要的一种数列，它的每一项与它的前一项之差都相等。例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。在数学中，我们经常需要求解等差数列的和，这时就需要用到等差数列求和公式。

等差数列求和公式是指，对于一个公差为d、首项为a1、末项为an、共有n项的等差数列，它的和Sn等于(n/2)×[2a1+(n-1)d]。这个公式的推导方法可以通过数学归纳法来证明。

首先，当n=1时，Sn=a1，这个显然成立。

接下来假设当n=k时，等差数列的和Sn=k/2×[2a1+(k-1)d]成立，即：

S_k = k/2 × [2a1 + (k-1)d]

我们需要证明，当n=k+1时，等差数列的和也符合公式，即：

S_k+1 = (k+1)/2 × [2a1 + kd]

对于等差数列的第k+1项an，它的值为a1+kd。那么，等差数列的前k项的和可以表示为：

S_k = k/2 × [2a1 + (k-1)d]

而等差数列的前k+1项的和可以表示为：

S_k+1 = S_k + a1 + kd

将S_k代入上式，可以得到：

S_k+1 = k/2 × [2a1 + (k-1)d] + a1 + kd

化简后得到：

S_k+1 = (k+1)/2 × [2a1 + kd]

因此，我们证明了当n=k+1时，等差数列的和也符合公式。由此可以得到，等差数列求和公式成立。

总之，等差数列求和公式是一种非常实用的数学工具，它可以方便地求解等差数列的和，为我们在数学问题中的解决提供了很大的帮助。

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